Die Nambu-Darstellung der inkompressiblen Wirbeldynamik: eine algebraische Sichtweise

Auf allen Skalen in unserer Atmosphäre haben Wirbel einen Einfluss auf unser Wettersystem. Die Dynamik synoptische Wirbel, wie Hoch- und Tiefdruckgebiete, kann mathematisch hinreichend gut mit dem Gleichungssystem der zweidimensionalen Hydrodynamik ausgedrückt werden. Hier kann die vertikale Komponente vernachlässigt werden. Jedoch ist es notwendig, bei Wirbeln auf kleinerer Skala, die unser Wetter lokal beeinflussen, dreidimensionale Modelle zu verwenden. Denn nur so kann die Dynamik kleiner-skaliger Wirbel, wie beispielsweise Superzellen, erfasst werden. Um Wirbel auf beiden Skalen zu beschreiben, betrachten wir die Nambu-Darstellungen der zwei-und dreidimensionalen Wirbeldynamik. Die Nambu-Mechanik kann als Verallgemeinerung der Hamilton’schen Sichtweise aufgefasst werden. Im Vergleich zur Hamilton'schen Sichtweise spielt in der Nambu-Mechanik neben Energie eine Wirbelerhaltungsgröße eine gleichberechtigte Rolle: die Helizität in 3D, beziehungsweise die Enstrophie in 2D. Die Nambu-Darstellung der inkompressiblen Wirbeldynamik wurde im Jahr 1993 von Pèter Nevir und Richard Blender eingeführt.

Die Ableitung der Nambu-Klammer erfolgt direkt aus der Helmholtz’schen Wirbelgleichung. Das Einsetzen aller systemabhängigen Erhaltungsgrößen in diese Klammer liefert Lie Algebren für die 2D und 3D Wirbeldynamik. Hierbei nutzen wir neue Matrixdarstellungen der Erhaltungsgrößen und erzeugen auf diese Weise Matrix Lie Algebren. Darüber hinaus werden verschiedene Gruppendarstellungen für zwei- und dreidimensionale Wirbelbewegungen abgeleitet. Als Anwendung wird das Helizitätsfeld für typische meteorologische Anfangsbedingungen betrachtet. Die Nambu-Darstellung ermöglicht eine neue, algebraische Sichtweise, mit der die Mechanismen verschiedener atmosphärische Prozesse, wie beispieslweise das Teilen von Wirbeln, neu verstanden werden können.